fx 的 n 次方核心就是函数 fx 整体做 n 次幂运算，标准写法是 fx 的 n 次方等于 fx 括号整体自乘 n 次，数学表达式记为 fxⁿ，本质属于函数复合幂运算，不是对自变量 x 单独做 n 次方，这点是最容易混淆的关键点，很多初学者会误写成 f (xⁿ)，这两个式子含义完全不一样，fxⁿ代表整个函数结果再求 n 次幂，f (xⁿ) 是先把 x 做 n 次方再代入函数 fx 计算，运算顺序颠倒之后结果差别非常大。当 n 是正整数的时候定义最直观，就是把 fx 这个函数值连续相乘 n 次，n 为零的时候，只要 fx 不等于零，fx 的零次方结果等于 1，n 是负数的时候，fx 的负 n 次方等于 fx 的 n 次方的倒数，n 是分数的时候就对应开方运算，比如二分之一次方就是对 fx 整体开平方根，这套定义和普通数字幂运算法则保持统一，只是底数换成了函数 fx 的输出值。

一 基础定义与运算规则

正整数幂定义

当 n 属于正整数，fx 的 n 次方就是 n 个 fx 相乘

fxⁿ = fx × fx × fx … 一共 n 个因子相乘

举例 如果 fx 等于 2x 加 1，n 等于 3，那么 fx 的 n 次方就是 (2x+1)³，不是 2x³+1

扩展幂次定义

幂运算通用性质

1 同底数相乘 fxᵃ × fxᵇ = fx^(a+b)

2 幂的乘方 (fxᵃ)ᵇ = fx^(a×b)

3 积的幂 这里注意，如果是 [f (x) g (x)]ⁿ = fxⁿ × gxⁿ，这个是乘积整体求幂，和 fx 本身的 n 次方性质区分开

二 运算实操步骤

第一步 先明确区分两种写法，确认题目要求是 fx 的 n 次方，也就是整体幂，还是 f (xⁿ)，也就是自变量 x 先 n 次方，这一步是解题首要环节，一旦看错符号后面全部计算错误。

第二步 先求出 fx 的函数表达式，把 fx 完整的式子加上括号，这个括号非常关键，保证 n 次方作用在整个函数表达式上。

第三步 根据 n 的类型选择对应的公式，正整数就展开乘法，负数就转换成倒数，分数幂转换成根式，遇到指数为小数一般先转成分数再计算。

第四步 化简展开，如果 n 比较大，可以用二项式定理展开多项式形式，比如二次三次四次幂，也可以保留幂的形式不展开，看题目要求。

第五步 确定定义域，因为底数是函数 fx，所以必须保证 fx 满足幂运算定义域要求，比如负数不能开偶次方，零不能做分母，把不满足的 x 取值从定义域剔除。

三 容易混淆的对比

补充说明，部分旧教材里面 fⁿ(x) 会代表迭代复合，也就是 f (f (f (x)))，这个符号含义和 fx 的 n 次方完全不同，做题的时候一定要看教材或者题目约定，不要直接默认是幂运算。

四 应用场景

fx 的 n 次方公式经常出现在导数计算，复合函数求导里面，链式法则就会用到，比如求 y 等于 fx 的 n 次方的导数，导数等于 n 乘以 fx 的 n 减一次方，再乘以 fx 的导数，也就是 y' = n [fx]^(n-1) × f'(x)，这个就是非常经典的幂函数复合求导，也是高中和高数高频考点。另外在概率统计，微分方程里面也经常见到函数整体取 n 次幂的形式。

【常见问题】

问题 1 fx 的 n 次方和 f (x 的 n 次方) 是不是同一个公式

回答 1 fx 的 n 次方和 f (x 的 n 次方) 不是同一个公式，fx 的 n 次方是函数 fx 算出结果之后整体求 n 次幂，f (x 的 n 次方) 是先把自变量 x 做 n 次方再代入函数 fx，运算顺序不一样，计算结果一般不相等。

问题 2 fx 的 n 次方公式里面 n 可以是任意实数吗

回答 2 fx 的 n 次方公式理论上 n 可以是实数，但是会受到底数 fx 取值限制，如果 n 是偶数分数幂，fx 必须大于等于零，如果 n 是负数，fx 不能等于零，超出定义域的情况在实数范围内没有意义。

问题 3 fx 的 n 次方求导该怎么套用公式

回答 3 fx 的 n 次方求导套用复合幂求导公式，导数等于 n 乘以 fx 的 n 减一次方再乘以 fx 本身的导数，这个是 fx 的 n 次方公式在微积分里面最常用的用法，属于链式法则的典型应用。

问题 4 fx 的 n 次方公式能不能用来表示函数迭代

回答 4 fx 的 n 次方公式本身代表幂运算，不能直接代表函数迭代，函数迭代一般写作 f 的 n 次复合，符号约定不同，不要把 fx 的 n 次方公式和函数迭代的记号混为一谈。

【免责申明】

本文内容仅作为数学学习参考，不同教材记号约定存在差异，实际解题请以题目和教材规定为准，公式应用涉及定义域拓展复数域等情况需要另行讨论，请自行核对计算。