在数学分析中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿于微积分的各个部分。熟练掌握求解极限的方法对于深入理解函数的性质和解决实际问题都至关重要。以下是四个常用的极限求解公式，它们能够帮助我们快速准确地计算出某些特定类型的极限。

1. 基本极限公式

\[

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

\]

这两个公式是基于三角函数和指数函数的性质推导出来的。第一个公式表明当自变量趋于零时，正弦函数与自变量之间的比值趋近于1；第二个公式则表示了指数函数的增长速率。

2. 对数函数的极限

\[

\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0

\]

这个公式揭示了对数函数在接近零点时的行为特征。通过这个公式，我们可以更容易地处理一些复杂的对数表达式。

3. 幂指函数的极限

\[

\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e

\]

这是自然常数\( e \)的经典定义之一。该公式展示了幂指函数随着底数和指数同时变化时所呈现的独特性质。

4. 多项式与指数混合型极限

\[

\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{a^x} = 0 \quad (n > 0, a > 1)

\]

此公式说明了当指数增长速度远快于多项式的增长速度时，前者的增长会完全压制后者。这一定理在研究函数的增长趋势时极为有用。

以上四个公式构成了求解极限问题的基础框架。当然，在具体应用过程中还需要结合具体情况灵活运用其他技巧如洛必达法则等来进一步简化计算过程。希望这些基本知识能为你的学习提供一定的帮助！