【向量积怎么求】向量积（也称为叉积或矢积）是向量运算中的一种重要形式，主要用于三维空间中计算两个向量的垂直方向和大小。它在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用。本文将总结向量积的基本概念、计算方法，并通过表格形式清晰展示。
一、向量积的基本概念
向量积是两个向量相乘后得到的一个新向量，其方向与原两向量所在的平面垂直，且遵循右手定则。向量积的结果是一个向量，而不是标量。
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，其结果为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||
| 方向 | 垂直于两个原始向量所在的平面，遵循右手螺旋法则 | ||||
| 大小 | 等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，即 $ | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta $ | |
| 零向量 | 当两个向量共线时，向量积为零向量 | ||||
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
三、向量积的计算步骤
1. 写出两个向量的坐标：如 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)
2. 使用行列式法进行计算：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
3. 按行展开，分别计算 i、j、k 的系数。
4. 组合成新的向量，即为向量积结果。
四、示例计算
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，求 a × b。
计算过程如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) - \mathbf{j}(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)
$$
$$
= \mathbf{i}(12 - 15) - \mathbf{j}(6 - 12) + \mathbf{k}(5 - 8)
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
所以，a × b = (-3, 6, -3)
五、总结
| 内容 | 说明 |
| 向量积 | 两个向量相乘后得到一个新向量 |
| 计算方式 | 使用行列式展开或直接公式 |
| 结果方向 | 垂直于两向量，符合右手定则 |
| 应用场景 | 物理中的力矩、旋转、图形学等 |
通过以上内容，我们可以更清晰地理解向量积的概念与计算方法。掌握这一知识有助于在实际问题中灵活运用向量运算。
