【向量积计算公式】在向量运算中，向量积（也称为叉积）是一种重要的数学工具，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积的结果是一个与原两个向量都垂直的向量，其方向由右手定则决定，大小则与两个向量的夹角有关。

以下是关于向量积的基本概念、性质及计算方法的总结。

一、向量积的基本定义

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，结果是一个向量，其方向垂直于 a 和 b 所在的平面，大小为：

$$

$$

其中，θ 是 a 和 b 的夹角，a 和 b 分别是向量 a 和 b 的模长。

二、向量积的计算公式

向量积的计算可以通过行列式展开的方式进行，具体如下：

$$

a × b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后得到：

$$

a × b = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成：

$$

a × b = (a_2b_3 - a_3b_2, \ a_3b_1 - a_1b_3, \ a_1b_2 - a_2b_1)

$$

三、向量积的性质

四、向量积的应用

五、示例计算

设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

$$

a × b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}

= (-3, 6, -3)

$$

六、总结

向量积是三维空间中一种重要的向量运算方式，具有明确的几何意义和广泛的实际应用。掌握其计算公式和基本性质，有助于在多个学科领域中进行更深入的分析和计算。

通过理解这些内容，可以更灵活地运用向量积解决实际问题。