在数学领域中，函数的奇偶性是一种重要的分类方式。了解不同类型的函数在基本运算（如加、减、乘、除）下的变化规律，不仅有助于深入理解函数的本质特性，还能为解决实际问题提供理论支持。本文将探讨奇函数与奇函数、偶函数与偶函数以及奇函数与偶函数之间分别进行加、减、乘、除运算后的结果及其性质。

一、奇函数+奇函数=奇函数

当两个奇函数相加时，其结果仍然是一个奇函数。这是因为奇函数满足f(-x)=-f(x)，所以对于任意x，有[f1(-x)+f2(-x)]=[-f1(x)-f2(x)]=- [f1(x)+f2(x)]。因此，奇函数相加的结果依然保持了奇函数的基本特性。

二、偶函数+偶函数=偶函数

类似地，偶函数相加的结果也是一个偶函数。根据定义，偶函数满足f(-x)=f(x)，则[f1(-x)+f2(-x)]=[f1(x)+f2(x)]，这表明新的函数也是偶函数。

三、奇函数-奇函数=奇函数

奇函数相减同样得到奇函数。因为[f1(-x)-f2(-x)]=[-f1(x)-(-f2(x))]=- [f1(x)-f2(x)]，符合奇函数的定义。

四、偶函数-偶函数=偶函数

偶函数相减的结果仍为偶函数。由[f1(-x)-f2(-x)]=[f1(x)-f2(x)]可知，此结论成立。

五、奇函数×奇函数=偶函数

奇函数相乘的结果是一个偶函数。由于奇函数满足f(-x)=-f(x)，那么[f1(-x)·f2(-x)]=[-f1(x)·(-f2(x))]=[f1(x)·f2(x)]，从而得出乘积为偶函数。

六、偶函数×偶函数=偶函数

偶函数相乘的结果依然是偶函数。依据[f1(-x)·f2(-x)]=[f1(x)·f2(x)]，可以证明这一点。

七、奇函数÷奇函数=偶函数

奇函数相除的结果同样是偶函数。假定分母不为零且恒正，则[f1(-x)/f2(-x)]=[-f1(x)/(-f2(x))]=[f1(x)/f2(x)]，即商为偶函数。

八、偶函数÷偶函数=偶函数

偶函数相除的结果还是偶函数。由[f1(-x)/f2(-x)]=[f1(x)/f2(x)]可得该结论。

综上所述，在数学运算中，奇函数与奇函数、偶函数与偶函数以及奇函数与偶函数之间的加减乘除运算都遵循一定的规律，这些规律帮助我们更好地理解和应用函数的奇偶性。掌握这些基础知识对于进一步学习高等数学以及其他相关学科具有重要意义。