$$

其中，$ [\mathbf{x}]_B $ 是向量 $ \mathbf{x} $ 在基 $ B $ 下的坐标，$ [\mathbf{x}]_{B'} $ 是其在基 $ B' $ 下的坐标。

二、如何求过渡矩阵？

求过渡矩阵的基本步骤如下：

1. 确定基 $ B $ 和基 $ B' $

首先明确两组基的元素，例如：

- 基 $ B = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \} $

- 基 $ B' = \{ \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \} $

2. 将基 $ B $ 中的每个向量表示为基 $ B' $ 的线性组合

即对每个 $ \mathbf{v}_i \in B $，找到一组系数 $ a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in} $，使得：

$$

\mathbf{v}_i = a_{i1}\mathbf{w}_1 + a_{i2}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{in}\mathbf{w}_n

$$

3. 构造过渡矩阵 $ P_{B' \leftarrow B} $

将每个 $ \mathbf{v}_i $ 对应的系数作为列向量，依次排列成一个矩阵，即为过渡矩阵。

三、示例说明

假设在 $ \mathbb{R}^2 $ 中，有两个基：

- $ B = \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \} $（标准基）

- $ B' = \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \} $

我们要求从 $ B $ 到 $ B' $ 的过渡矩阵 $ P_{B' \leftarrow B} $。

步骤：

1. 将 $ B $ 中的每个向量表示为 $ B' $ 的线性组合：

- $ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = a_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $

解得：$ a_1 = \frac{1}{2}, a_2 = \frac{1}{2} $

- $ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = b_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $

解得：$ b_1 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{1}{2} $

2. 构造过渡矩阵：

$$

P_{B' \leftarrow B} =

\begin{bmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}

\end{bmatrix}

$$

四、总结与表格对比

五、注意事项

- 过渡矩阵是方阵，且必须可逆。

- 如果 $ B $ 和 $ B' $ 是同一组基，则过渡矩阵为单位矩阵。

- 过渡矩阵的方向非常重要，不能混淆 $ P_{B' \leftarrow B} $ 和 $ P_{B \leftarrow B'} $。

通过以上方法和步骤，可以系统地理解和计算过渡矩阵，从而更好地掌握线性代数中的基变换问题。