【朋友,请问分数形式的求导公式?】在学习微积分的过程中，很多同学都会遇到关于分数形式函数的求导问题。比如像 $ \frac{u(x)}{v(x)} $ 这样的函数，如何求它的导数呢？今天我们就来总结一下分数形式函数的求导方法，并通过表格的形式清晰展示。
一、分数形式的求导法则
对于一个由两个函数相除构成的函数：
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
$$
其导数可以通过商数法则（Quotient Rule）来计算，公式如下：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简化记忆为：“分子导乘分母减，分子乘分母导，再除以分母平方”。
二、举例说明
| 函数 | 导数 | 计算过程 |
| $ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $ | $ f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} $ | 分子 $ u(x) = x^2 $，导数 $ u'(x) = 2x $；分母 $ v(x) = x+1 $，导数 $ v'(x) = 1 $。代入公式即可。 |
| $ f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ f'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x $ | 利用三角恒等式 $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $ 简化结果。 |
| $ f(x) = \frac{e^x}{x^3} $ | $ f'(x) = \frac{e^x \cdot x^3 - e^x \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{e^x (x^3 - 3x^2)}{x^6} = \frac{e^x (x - 3)}{x^4} $ | 分子导数为 $ e^x $，分母导数为 $ 3x^2 $，代入后整理即可。 |
三、注意事项
- 分母不能为零：在使用商数法则时，必须确保 $ v(x) \neq 0 $，否则函数无定义。
- 先化简再求导：有时将分数形式先化简（如约分或拆项），可能会使求导更简单。
- 注意符号变化：在计算过程中，尤其是负号容易出错，需仔细检查。
四、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 求导公式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 使用场景 | 当函数为两个函数的比值时（即 $ \frac{u(x)}{v(x)} $） |
| 常见错误 | 忽略分母平方、符号错误、忘记乘上导数部分 |
| 适用范围 | 所有可导函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $，且 $ v(x) \neq 0 $ |
如果你在做题时遇到分数形式的函数，不妨先回忆一下这个公式，再结合具体例子进行练习。多做几道题，你就能熟练掌握分数形式的求导技巧了！
