【对勾函数最值公式】在数学中，对勾函数是一种特殊的函数形式，常用于研究函数的极值问题。其标准形式为：
$$
f(x) = ax + \frac{b}{x}
$$
其中 $ a > 0 $，$ b > 0 $，且 $ x \neq 0 $。该函数图像呈现“对勾”形状，因此得名“对勾函数”。本文将总结对勾函数的最值公式，并通过表格形式展示关键内容。
一、对勾函数的基本性质
1. 定义域：$ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $
2. 奇偶性：函数为奇函数（关于原点对称）
3. 单调性：
- 当 $ x > 0 $ 时，函数在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得最小值；
- 当 $ x < 0 $ 时，函数在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得最大值。
4. 极值点：对勾函数在 $ x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处分别取得最小值和最大值。
二、对勾函数的最值公式
通过对导数法或不等式法进行分析，可以得出以下结论：
| 参数 | 表达式 | 说明 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ | 其中 $ a > 0 $，$ b > 0 $ |
| 极值点 | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ | 正数区间内取得最小值 |
| 最小值 | $ f_{\text{min}} = 2\sqrt{ab} $ | 在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得 |
| 极值点 | $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ | 负数区间内取得最大值 |
| 最大值 | $ f_{\text{max}} = -2\sqrt{ab} $ | 在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得 |
三、应用实例
以函数 $ f(x) = 2x + \frac{8}{x} $ 为例：
- $ a = 2 $，$ b = 8 $
- 极值点：$ x = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2 $
- 最小值：$ f(2) = 2 \times 2 + \frac{8}{2} = 4 + 4 = 8 $
同样地，当 $ x = -2 $ 时：
- 最大值：$ f(-2) = 2 \times (-2) + \frac{8}{-2} = -4 - 4 = -8 $
四、总结
对勾函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 是一种具有对称性和明确极值点的函数。其最值可以通过以下公式快速求得：
- 最小值：$ 2\sqrt{ab} $，在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得；
- 最大值：$ -2\sqrt{ab} $，在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得。
掌握这一公式，有助于在实际问题中快速判断函数的最值，尤其适用于优化问题和经济学模型分析。
表格总结
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ |
| 定义域 | $ x \neq 0 $ |
| 极值点（正） | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ |
| 最小值 | $ 2\sqrt{ab} $ |
| 极值点（负） | $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ |
| 最大值 | $ -2\sqrt{ab} $ |
如需进一步探讨对勾函数在实际中的应用，可结合具体场景进行分析与验证。
