首先，我们需要明确一些基本概念。菱形是一种特殊的平行四边形，它的四条边等长，而对角线互相垂直平分。设菱形的两条对角线分别为d₁和d₂，则它们满足以下关系：

\[ d₁ + d₂ = 10 \]

同时，菱形的面积公式为：

\[ 面积 = \frac{1}{2} \times d₁ \times d₂ \]

根据题目给出的条件，面积为12平方厘米，因此可以建立方程：

\[ \frac{1}{2} \times d₁ \times d₂ = 12 \]

接下来，我们可以通过解方程组来确定d₁和d₂的具体值。首先将第一个方程变形为：

\[ d₂ = 10 - d₁ \]

将其代入第二个方程中，得到：

\[ \frac{1}{2} \times d₁ \times (10 - d₁) = 12 \]

进一步整理后化简为一元二次方程：

\[ d₁^2 - 10d₁ + 24 = 0 \]

利用求根公式解此方程，可得：

\[ d₁ = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

其中 \(a=1\), \(b=-10\), \(c=24\)，代入计算后得到两个解：

\[ d₁ = 6 \quad 或 \quad d₁ = 4 \]

相应地，\(d₂ = 4\) 或 \(d₂ = 6\)。这意味着两条对角线的长度分别是6厘米和4厘米。

最后，利用菱形的性质——对角线互相垂直平分，我们可以构造直角三角形来求边长。每条边长为斜边，而对角线的一半分别为直角边。因此，边长 \(s\) 可以通过勾股定理计算：

\[ s = \sqrt{\left(\frac{d₁}{2}\right)^2 + \left(\frac{d₂}{2}\right)^2} \]

代入具体数值后，得到：

\[ s = \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \]

因此，菱形的周长为：

\[ 周长 = 4 \times s = 4 \times \sqrt{13} \]

最终答案为：

\[ \boxed{4\sqrt{13}} \]