【三角函数的公式是什么】在数学中，三角函数是一类重要的函数，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。它们主要用来描述直角三角形中边与角之间的关系，也可以推广到单位圆和周期性现象的研究中。常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）和余割（sec）。以下是对这些基本三角函数公式的总结。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设一个锐角为θ，其对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 符号 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ | a/c |
| 余弦 | cosθ | b/c |
| 正切 | tanθ | a/b |
| 余切 | cotθ | b/a |
| 正割 | secθ | c/b |
| 余割 | cscθ | c/a |
二、三角函数的基本关系
1. 倒数关系
- $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $
- $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $
- $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $
2. 商数关系
- $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $
- $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $
3. 平方关系
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
三、诱导公式（角度变换）
对于任意角θ，以下公式成立：
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | 无意义 |
五、和差角公式
- $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $
- $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $
- $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $
六、倍角公式
- $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $
- $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $
七、半角公式
- $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $
- $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $
- $ \tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $
通过以上内容，可以系统地了解三角函数的基本公式及其应用。掌握这些公式有助于解决实际问题，如测量高度、计算力的分解、分析波动等。建议结合图形和实例进行理解，以加深记忆和应用能力。
