【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了便于理解和使用，以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行归纳整理。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | sinθ = a / c |
| 余弦（cos） | cosθ = b / c |
| 正切（tan） | tanθ = a / b |
| 余切（cot） | cotθ = b / a |
| 正割（sec） | secθ = c / b |
| 余割（csc） | cscθ = c / a |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ cosθ = 1 / secθ tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 1 + tan²θ = sec²θ 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 对应的三角函数值 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(-θ) | -sinθ |
| cos(-θ) | cosθ |
| tan(-θ) | -tanθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差角 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差角 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差角 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
七、积化和差与和差化积
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差 | sinα cosβ = [sin(α+β) + sin(α-β)] / 2 |
| cosα cosβ = [cos(α+β) + cos(α-β)] / 2 | |
| sinα sinβ = [cos(α-β) - cos(α+β)] / 2 | |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
结语
以上内容涵盖了三角函数的主要公式，包括基本定义、关系式、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差等。这些公式是解决三角问题的基础工具，掌握它们有助于提高解题效率和理解能力。在实际应用中，建议结合图形辅助理解，并通过练习加深记忆。
