【TOPSIS方法应用示例】TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种多属性决策分析方法，广泛应用于评价、排序和选择多个备选方案的场景中。该方法通过计算每个方案与理想解和负理想解的距离，来判断各方案的优劣程度，最终得出综合接近度，从而进行排序。
在实际应用中，TOPSIS方法可以有效解决复杂问题中的多目标优化问题。以下是一个典型的TOPSIS方法应用示例，通过具体步骤展示其操作流程，并结合表格形式进行说明。
一、问题描述
某公司计划选择一个最佳供应商，考虑以下几个评价指标：
- 成本（Cost）
- 质量（Quality）
- 交货时间（Delivery Time）
- 售后服务（Service）
共有三个候选供应商：A、B、C。
二、数据准备
以下是各供应商在四个指标上的评分数据（数值越高表示越好）：
| 供应商 | 成本 | 质量 | 交货时间 | 售后服务 |
| A | 7 | 8 | 6 | 9 |
| B | 5 | 9 | 7 | 7 |
| C | 6 | 7 | 8 | 8 |
三、TOPSIS方法步骤
步骤1：构建决策矩阵
如上表所示，即为原始数据矩阵。
步骤2：归一化处理
将原始数据标准化为无量纲的数值，消除不同单位的影响。常用方法是向量归一化法：
$$
x_{ij}^ = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{ij}^2}}
$$
计算结果如下：
| 供应商 | 成本 | 质量 | 交货时间 | 售后服务 |
| A | 0.700 | 0.730 | 0.535 | 0.802 |
| B | 0.495 | 0.823 | 0.612 | 0.628 |
| C | 0.584 | 0.643 | 0.704 | 0.713 |
步骤3：加权归一化矩阵
假设各指标权重分别为：成本0.3，质量0.25，交货时间0.2，售后服务0.25。
乘以相应权重后得到：
| 供应商 | 成本 | 质量 | 交货时间 | 售后服务 |
| A | 0.210 | 0.182 | 0.107 | 0.201 |
| B | 0.149 | 0.206 | 0.122 | 0.157 |
| C | 0.175 | 0.161 | 0.141 | 0.178 |
步骤4：确定正理想解和负理想解
正理想解（PIS）是各属性的最大值；负理想解（NIS）是各属性的最小值：
| 指标 | PIS | NIS |
| 成本 | 0.210 | 0.149 |
| 质量 | 0.206 | 0.161 |
| 交货时间 | 0.141 | 0.107 |
| 售后服务 | 0.201 | 0.157 |
步骤5：计算距离
分别计算每个方案到PIS和NIS的距离：
$$
D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(x_{ij} - PIS_j)^2}
$$
$$
D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(x_{ij} - NIS_j)^2}
$$
计算结果如下：
| 供应商 | 到PIS距离 | 到NIS距离 |
| A | 0.072 | 0.115 |
| B | 0.118 | 0.076 |
| C | 0.089 | 0.094 |
步骤6：计算接近度并排序
$$
C_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}
$$
| 供应商 | 接近度 |
| A | 0.614 |
| B | 0.392 |
| C | 0.512 |
根据接近度从高到低排序：A > C > B
四、结论
通过TOPSIS方法的应用，我们得出供应商A在综合评价中表现最优，其次是C，最后是B。该方法不仅逻辑清晰，而且能够有效处理多维决策问题，适用于各类资源选择、项目评估等场景。
总结：
TOPSIS方法通过量化分析多个影响因素，帮助决策者在复杂的环境中做出更科学的选择。它适用于需要综合考虑多种指标的决策场景，具有较高的实用性和可操作性。
