【三角函数的公式有哪些】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，有助于解决各种实际问题。本文将对常用的三角函数公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和理解。
一、基本三角函数定义
| 名称 | 符号 | 定义式（直角三角形中） |
| 正弦函数 | sinθ | 对边 / 斜边 |
| 余弦函数 | cosθ | 邻边 / 斜边 |
| 正切函数 | tanθ | 对边 / 邻边 |
| 余切函数 | cotθ | 邻边 / 对边 |
| 正割函数 | secθ | 斜边 / 邻边 |
| 余割函数 | cscθ | 斜边 / 对边 |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ, cosθ = 1 / secθ, tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | |
| 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ |
| π/2 + θ | sin(π/2 + θ) = cosθ, cos(π/2 + θ) = -sinθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ |
| 2π - θ | sin(2π - θ) = -sinθ, cos(2π - θ) = cosθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB |
| 正弦差角公式 | sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB |
| 余弦和角公式 | cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB |
| 余弦差角公式 | cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB |
| 正切和角公式 | tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB) |
| 正切差角公式 | tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sin2θ | 2 sinθ cosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
七、积化和差与和差化积
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 积化和差（正弦） | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| 积化和差（余弦） | cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| 积化和差（正切） | sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| 和差化积（正弦） | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| 和差化积（余弦） | cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
总结
三角函数的公式种类繁多，涵盖了基本定义、相互关系、角度转换、和差角、倍角、半角、积化和差等多方面内容。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升对三角函数整体结构的理解。建议结合图形记忆，并通过练习加深印象。
